Definición de sucesión aritmética
Una sucesión es una sucesión aritmética si hay un número real tal que para todo entero positivo ,
.
El número se le llama diferencial común de la sucesión.
Dada una sucesion aritmetica:
k+1 = a+ d
para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta
Observa que la diferencia común es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.
El n-ésimo término de una sucesión aritmética
Teorema: fórmulas para
Si es una sucesión aritmética con diferencia común , entonces la n-ésima suma parcial (esto es, la suma de los primeros términos), está dada por
o
Demostración
Podemos escribir
.
.
Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
,
,
con veces dentro del primer par de paréntesis. Así
.
.
La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros enteros positivos, , entonces tenemos
Sustituimos en la última ecuación por y factorizamos con lo cual
Puesto que , la última ecuación es equivalente a
.
Historia de Gauss
LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que habia terminado, la maestra pensó, "Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.
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