Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Una sucesión $a_{1}, a_{2},..., a_{n},...$ es una sucesión geométrica si $a_{1} \neq 0$ y si hay un número real $r \neq 0$ tal que para todo entero positivo $k$ ,

El número $r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}}$ se conoce la razón común de la sucesión.

Observa que la razón común $r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}}$ es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

Teorema: fórmula para hallar $S_{n}$

La n-ésima suma parcial $S_{n}$ de una sucesión geométrica con primer término $a_{1}$ y razón común $r \neq 1 es$

Demostración

Por definición, la n-ésima suma parcial $S_{n}$ de una sucesión geométrica es

                                     . (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por $r$ obtenemos

                                   . (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos:

factorizar ambos miembros.

dividir entre (1-r)

Ejemplos

Ejemplo #1

Pruebe que la sucesión $a_{n}={(3n-1)}$ cuando n pertenece a los numeros Enteros es una sucesión aritmética.

$a_{k+1} - a_{k}= d$

$[3(k+1)-2] - [3_{k} - 2]= d$

$3_{k} + 3 - 2 - 3_{k} + 2 = d$
$3 = d$

$a_{1}, (a_{1}+ d), (a_{1}+2d), (a_{1} + 3d), ...$ .

$\sum a_{n}= a_{1} + (a_{1}+ d) + (a_{1}+2d) + ...$ .

$S_{1}= a_{1}$ ,
$S_{2}= a_{1} + (a_{1}+d) = 2a_{1} + d$
$S_{3}= (2a_{1}+d) + (a_{1}+2d) = 3a_{1} + 3d$
$S_{4}= (3a_{1} + 3d) + (a_{1} + 3d) = 4a_{1} + 6d$

$S_{5}= 5a_{1} + 10d$
$S_{6}= 6a_{1} + 15d$

$S_{n}= na_{1} + (n! + 1) d$

$S_{n}= na_{1} + \frac{n(n+1)}{2} == S_{n} = na_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d$

Suma hasta el n-esimo término.

$S_{n}= \frac{n}{2}[2a_{1} + (n - 1)d]$

Generar el n-esimo término.

$a_{n}= a_{1} + (n -1)d$

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #2

Los tres primeros términos de una sucesión aritmética son $20, 16.5, 13, ...$ Encuentre el 15º término.

$16.5 - 20 = -3.5$

$a_{15}= 20 + 14(-3.5)$

$a_{15}= -29$

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #3

Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno es 20, indique el 6to término.

Identificamos $a_{n}$ conocidos, en este caso $a_{4}$ por ser el cuarto término y $a_{9}$ por ser el noveno termino.

$a_{4}= 5$ ------------> $a_{1} + 3d = 5$
$a_{9}= 20$ ----------> $a_{1} + 8d = 20$

Indentificamos el termino que queremos encontrar

$a_{6}= ?$

Operamos

$a_{1} = 5 - 3d$

$5-3d + 8d = 20$
$5 + 5d = 20$
$5d = 15$
$d = 3$

$a_{1} + 3(3)= 5$
$a_{1}= 5 - 9$
$a_{1}= -4$

Sustituimos en el termino que queremos encontrar, es decir, $a_{6}$

$a_{6} = -4 + 5(3)$

$a_{6} = 11$

Ejemplo #4

    Si la sucesión es 1,0.3,0.09,0.027.... es geométrica encuentre la suma de los primeros 5 términos.

a1=1 r=o.3

$S_{5}= 1-(0.3exp5)/1-0.3=1.4251$

MATEMATICAS 2°parcial

lunes, 30 de septiembre de 2013

SERIES Y SUCESIONES GEOMETRICAS