CONJUNTO DE NUMEROS REALES

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3,  y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.  Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.  En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.  En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto  de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto  N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

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1.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:  1.2.1. Conjunto de los números naturales.  El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi:  N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}  La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.  Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.  1.2.2. Conjunto de los números enteros.  El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi:  Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}  En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.    Puede notarse que N ÌZ.    1.2.3. Conjunto de los números racionales.  El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:  Q =  / m, n son enteros y n   La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación:  ax = b, con a, bΠR, a ¹ 0.  Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b.  Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Ì Q.    En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero.  1.2.4. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.  Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ  que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución.  El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional.  Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p , , etc.  En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales.  1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q*. En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) ymultiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).    1.2.5.1. Axiomas de campo  A.C.1. Uniforme  Si se suman entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.  Si se multiplican entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. A.C.2. Conmutativa  Para todo a, b  Î R ,  A.C.3. Asociativa  Para todo a, b, c  ΠR ,  A.C.4. Modulativa  Existe el real 0 (cero) tal que para todo a   ÎR ,  a + 0 = 0 + a = a   Existe el real 1 (uno), 1 ¹ 0 tal que, para todo a   ÎR,  a . 1 = 1 . a = a   El real 0 es llamado: módulo o elemento neutro para la adición.  El real 1 es llamado: módulo o elemento neutro para la multiplicación. A.C.5. Invertiva  Para cada número real a, existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota –a tal que:  a + (-a) = 0   Para cada número real a ¹ 0, existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por a-1 ó 1/a tal que:  a . a-1 = a. (1/a) = 1   Asi por ejemplo, el opuesto de 5 es -5; el recíproco de -2 es 1/-2.  Debe notarse que -a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Asi, -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5.  El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a. A.C.6. Distributiva  Para todo a, b, c,  Î R , a. (b+c) = a.b + a.c CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS AXIOMAS DE CAMPO  A continuación se presenta sin demostración las consecuencias mas importantes de los axiomas de campo. Mas que una simple lista, son propiedades conocidas por el estudiante y que le serán bastante útiles en el desarrollo del curso. En algunas demostraciones de los teoremas del cálculo, haremos referencia a ellas.    C1. Ley cancelativa para la adición (multiplicación)  x + y = x + z Þ y = z  Si x ¹ 0, entonces, xy = xz Þ y = z C2. Para todo a, b  ÎR  , la ecuación: x + a = b, tiene una y solo una solución en R.    C3. Para todo x ÎR  , x . 0 = 0    C4. x . y = 0 Þ x = 0 v y = 0.    C5. Para todo x ÎR , si x ¹ 0, entonces x-1 = 1/x ¹ 0.    C6. Si y ¹ 0, entonces, .    C7. Para todo x ÎR , -(-x) = x.    C8. Si x ¹ 0, entonces, (x-1)-1 = x.    C9. Para todo x, y ÎR, -(x+y) = (-x) + (-y).    C10. Si x ¹ 0, y ¹ 0, entonces: (xy)-1 = x-1.y-1. Equivalentemente:     C11. Si b ¹ 0, d ¹ 0, entonces,     C12. Si b ¹ 0, d ¹ 0, entonces,     C13. Si b ¹ 0, d ¹ 0, entonces,     C14. Para todo x ÎR , -x = (-1)x.    C15. (-1) . (-1) = 1.    C16. (-x) . (-y) = x.y.    C17. -(xy) = (-x)y = x(-y).    C18.  , y ¹ 0   C19. x(y-z) = x.y – x.z.    C20. (x-y) + (y-z) = x - z.    C21. (a-b) - (c-d) = (a+d) – (b+c).    C22. (a+b) . (c+d) = (a.c + b.d) + (a.d + b.c).    C23. (a-b) . (c-d) = (a.c + b.d) - (a.d + b.c).    C24. a - b = c – d Û a + d = b + c.    C25. Si x2 = x . x, entonces, x2 – y2 = (x-y) . (x+y).    1.2.5.2. Axiomas de orden  Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de R (este subconjunto denotado por R+ se identifica con el conjunto de los reales positivos). En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado. En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado.   A.O.1. Existe un subconjunto R+ de R tal que:  i) Si a, b ÎR+, entonces a + b ÎR+  a . b ÎR+  Para cada a ÎR , una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera. a ÎR+ ; a = 0 ; -a ÎR+. Los elementos a ÎR , para los cuales a ÎR+, serán llamados: reales positivos.  Los elementos a ÎR , para los cuales -a ÎR+, serán llamados: reales negativos.      DESIGUALDADES  Usando solamente el subconjunto R+ descrito en A.O.1., se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualdades de números reales.    Definiciones  Sean x, y números reales.    Los símbolos "<" y ">" (que se leen: "menor que" y "mayor que" respectivamente) se definen por las afirmaciones: x < y Û y – x ÎR+  x > y Û x – y ÎR+ Los símbolos "" y " " (que se leen: "menor o igual que" y "mayor o igual que" respectivamente) se definen por las afirmaciones: x  y Ûx < y v x = y   x y Û x > y v x = y  Cada una de las expresiones: x < y, x > y, x  y, x  y es llamadauna desigualdad.  Se sigue de la definición anterior que las desigualdades: x > y, y, y < x son equivalentes. Igualmente las desigualdades: x  y, y, y x son equivalentes.      La expresión: x < y < z, se usa para indicar las dos desigual.