MATEMATICAS 2°parcial: FRACCIONES

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, o quebrado (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)¹ es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad ; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado $\mathbb Q$ .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Clasificación de fracciones[editar · editar código]

1/2	un medio
1/3	un tercio
1/4	un cuarto
1/5	un quinto
1/6	un sexto
1/7	un séptimo
1/8	un octavo
1/9	un noveno
1/10	un décimo
1/11	un onceavo
1/12	un doceavo

Según la relación entre el numerador y el denominador:
- Fracción mixta: suma abreviada de un entero y una fracción propia: $3\$ ¼ , $2\$ ½ , $\dots\$
- Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el numerador: $1/3\; , \; 3/8\; , \; 3/4\; , \dots\$
- Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: $13/6\; , \; 18/8 \; , \; 5/2 \; , \dots\$
- Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada: $2/4 \; , \; 6/18 \; , \; 155/150\; , \dots \$
- Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada: $1/2 \; , \; 3/5 \; , \; 13/15\; , \dots \$
- Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador: $2/3 \;\$ y $3/2\;\$ ; $1/2 \;\$ y $2\$ ; $\dots\$
- Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: $3/3=1\; ; \ 12/3=4\$ ; $\dots\$
- Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
Según la escritura del denominador:
- Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada: $1/2 = 2/4 = 4/8 = 50/100, \dots\$
- Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: $1/4 \$ y $3/4 \$ ; $1/27 \$ y $3/27 \$ $; \dots\$
- Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: $1/4 \$ y $3/5 \$ ; $-1/5 \$ y $5/1 \$ ; $\dots\$
- Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, 2/100... En general: $\frac{a}{10^n}$ , con a un entero positivo y n un natural.
- Fracción continua: es una expresión del tipo: $x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}$ .
Según la escritura del numerador:
- Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.
- Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
- Fracción gradual² : $\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot a_2}+\frac{1}{a_1\cdot a_2\cdot a_3}+\ \cdots$
Otras clasificaciones:
- Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo porcentaje %.
- Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.
- Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para reducir un cociente de polinomios.

Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.

Cálculo aritmético[editar · editar código]

Ejemplo de fracción aparente.

Algoritmo para la suma o resta:

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd}=\frac{ad \pm bc}{bd}$

Algoritmo para la multiplicación y la división:

Fórmula para el producto: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Fórmula para el cociente: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$

Número mixto[editar · editar código]

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.³

Toda fracción impropia $\frac{p}{q}$ puede escribirse como número mixto: $A\$ ^a/_b, en donde $A$ ^a/_b denota $A+\frac{a}{b}$ (donde $A\in \mathbb{Z},~A\geq 0$ , es la parte entera).

Ejemplos:

$\frac{30}{20}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$ «Una cucharadita y media de...»

$15.70/12.561 \approx 5/4=1\frac{1}{4}$ «En una hora y cuarto...»

A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.⁴

Fracción irreducible[editar · editar código]

Artículo principal: Fracción irreducible.

Véanse también: Máximo común divisor y Algoritmo de Euclides.

Dada una fracción reducible (el numerador y el denominador son primos entre sí), esta siempre se puede reducir (i.e. simplificar) hasta obtener una fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible se generaliza al cuerpo de cocientes de cualquier dominio de factorización única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción en la cual el numerador y el denominador son coprimos.

Fracción equivalente[editar · editar código]

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto.

Ejemplo:

las fracciones $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{2}{4}$ , $\dfrac{3}{6}$ y $\dfrac{x}{2x}$ son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio».

Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) por uno.

Ejemplos:

$\dfrac{x}{2x}= \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{1}{2}$ en donde $\dfrac{x}{x}=1$ .

$\dfrac{3}{6}= \dfrac{3}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$ en donde $\dfrac{3}{3}=1$ .

El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse por la únicafracción equivalente irreducible del conjunto.

Fracción como porcentaje[editar · editar código]

Artículo principal: Porcentaje.

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100: utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación.

Ejemplos:

La expresión de un número por mil (1.000‰), es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje; se escribe con el signo ‰.

Una parte por billón (notado ppb) es una unidad de medida para expresar concentraciones extremadamente pequeñas.

Fracción decimal[editar · editar código]

Véase también: Representación decimal.

Una fracción decimal es una fracción del tipo $\frac{a}{10^n}$ , es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Por convención, se toma a positiva. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, comonúmero decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por un potencia apropiada de $\frac{10^n}{10^n}$ (Por ejemplo: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.

Se cree que las fracciones decimales eran conocidas por los matemáticos chinos en el siglo I, y que de ahí se extendió su uso a medio Oriente y Europa.⁷ J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional con fracciones decimales fue utilizado por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X.⁸

Khwarizmi introduce las fracciones al mundo islámico a comienzos del siglo IX. Su representación de las fracciones está tomada de la matemática tradicional china. Esta forma de escritura de las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal, fue utilizada también en el siglo X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y en el siglo XV por Jamshīd al-Kāshī en su trabajo La llave aritmética.

El uso moderno fue definitivamente introducido por Simon Stevin en el siglo xvi.⁹

Fracción continua[editar · editar código]

Artículo principal: Fracción continua.

Se llama fracción continua de orden n a una expresión de la forma:

$x = a_0 + \cfrac {1} {a_1 + \cfrac {1} {a_2 + \cfrac {1} { \begin{array}{l} \ddots \\ {a_{n-2} + \cfrac {1} {a_{n-1} + \cfrac {1} {a_n} } } \end{array} } } }$

En donde $(a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)\$ es una sucesión de enteros positivos.

Las fracciones continuas proporcionan una escritura alternativa de los números reales. Históricamente, fueron utilizadas por losmatemáticos indios desde el siglo VI. También fueron estudiadas por los matemáticos árabes como Brahmagupta, e introducidas en Europa en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Pierre de Fermat y Christiaan Huygens, entre otros.

Fracción unitaria[editar · editar código]

Artículo principal: Fracción unitaria.

Una fracción unitaria es una fracción común en la cual el numerador es igual a 1 y el denominador es un entero positivo: $1/2 \; , \ 1/3 \; , \ 1/4\; , \dots\$ Las fracciones unitarias son los recíprocos multiplicativos de los números naturales (es decir de losenteros positivos).

Ejemplos:

La serie armónica : $\frac11+\frac12+\frac13+\cdots$

La serie geométrica: $\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots$

Las fracciones egipcias son otro ejemplo de aplicación de las fracciones unitarias.

Fracción egipcia[editar · editar código]

Artículo principal: Fracción egipcia.

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolosjeroglíficos de los primeros números racionales.

Se le llama fracción egipcia al tipo de representación de fracciones utilizado en elAntiguo Egipto. Una fracción común -positiva- se escribe por medio de una suma de fracciones unitarias distintas, es decir que ninguno de los sumandos tiene el mismo denominador.

Ejemplos:

$\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}$

$\frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{180}$

$\frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

Todo número racional positivo se puede expresar como suma de fracciones unitarias (es decir, como fracción egipcia), si bien la representación no es única, como se aprecia en el ejemplo. Las fracciones egipcias fueron utilizadas también por los matemáticos griegos y durante la Edad Media. El matemático medieval Fibonacci (en su Liber abaci) describe su uso y las desarrolla dentro del marco moderno de las series matemáticas.

Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:

$fracciones$