FACTORIZACION DE POLINOMIOS

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar 

 ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto  y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da  pero no  como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo 

Otros ejemplos:

2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice  escribo

Otros ejemplos de factorización por este método:

3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

   y    

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

1. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

, siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas,  y se aplica la siguiente fórmula: 

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 

Igualamos a cero 

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

2. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado  tiene cuatro raíces enteras, , ,  y  se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini

Ejemplo: Factorizar 

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

Probemos con uno

Se copian los coeficientes del polinomio:

1

-4

-1

16

-12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

	1	-4	-1	16	-12
1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

	1	-4	-1	16	-12
1
	1

Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1

Se suma –4+1=-3

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1	-3

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3
	1	-3

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0

Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.

Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.

Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que

Dividendo=Divisor x Cociente+Resto

==

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.

Aplicando sucesivas veces esta regla queda:

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0
2		2	-2	-12
	1	-1	-6	0
-2		-2	6
	1	-3	0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3

La factorización final es:

= 

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

EN RESUMEN

Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.

EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios

1.- 

Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común

El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:

=

2.- 

Primero sacamos factor común: 

Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: = 

Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:

=

El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda 

 que no tiene solución real.

3.- 

Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini:

	1	-12	41	-30
1		1	-11	30
	1	-11	30	0
5		5	-30
	1	-6	0

=

4.- 

Primero sacamos factor común

=

Igualamos a cero el paréntesis y resolvemos la ecuación:  que origina dos soluciones, -3 y –2, por tanto la factorización completa es:

=

_EJERCICIOS:

a)  3x³ y² + 9x² y² – 18xy²

Solución: Se   observa   que   hay   factores   comunes   entre   los  términos  del polinomio  dado,  por  lo  que  se  eligen  los  factores  comunes  con  su  menor exponente  (M.C.D.)  tanto  entre los  coeficientes  numéricos  (3, 3², 2.3²) como entre las variables, obteniéndose: 3xy²

El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:

,           ,           

Por tanto, el polinomio factorizado será:

3x³ y² + 9x² y² – 18xy² = 3xy² (x² + 3x – 6)

La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se factorizó.

b)  a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1)

Solución: El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m – 1 y la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es un monomio (véase el ejercicio anterior).

Por lo tanto,      a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1) = (m – 1) (a + b – c)

c)  2av² + 3u³ + 2auv – 3uv² – 2au² – 3u² v

Solución: A simple vista se observa que no hay factor común, pero hay términos que “se parecen” como 2av² y 3uv². Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización. Si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo.

Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º.  Entonces,

     2av² + 3u³ + 2auv – 3uv² – 2au² – 3u² v

      =  (2av² – 3uv²) – (2au² – 3u³) + (2auv – 3u² v)  (se factoriza cada grupo)

      =  v² (2a – 3u) – u² (2a – 3u) + u v (2a – 3u)  (aparece un nuevo factor común)

      =  (2a – 3u) (v² – u² + u v)    (se completa la factorización). Entonces,

2av² + 3u³ + 2auv – 3uv² – 2au² – 3u² v =  (2a – 3u) (v² – u² + u v)

También se pueden agrupar los términos de 3 en 3, por ejemplo, los 3 términos que tienen coeficiente numérico 2 y los 3 que tienen coeficiente numérico 3. ¡Inténtalo!

d)  9x² – 36xy + 36y²

Solución: Como  es  un  trinomio,  la  pregunta  inmediata  es: ¿Será  un trinomio cuadrado perfecto?   Se  reconoce  porque  dos  de sus términos son positivos y cuadrados  perfectos (tienen raíz cuadrada exacta):     y   ; y el tercer término  (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y).

Entonces, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis  y se eleva al cuadrado.  O sea,

9x² – 36xy + 36y² = (3x – 6y)²

                                                ↓                     ↓

                                              3x                    6y

                                                     2(3x)(6y)

e)  9x² – 4y⁴

                  

Solución: Obsérvese que son dos cuadrados perfectos que se están restando, por lo que, se trata de una diferencia de cuadrados. Para factorizarlo, se saca la raíz cuadrada de cada uno de los términos; estas raíces cuadradas se suman y se multiplican por la diferencia de las mismas.

Por lo tanto,    

                                           9x² – 4y⁴ = (3x + 2y²) (3x – 2y²)

                                             ↓       ↓

                                            3x     2y² 

f)  (a + b – 1)² – (a – b + 1)²

Solución: Se trata de una diferencia de cuadrados.  Entonces,

     (a + b – 1)² – (a – b + 1)² = [(a + b – 1) + (a – b + 1)] [(a + b – 1) – (a – b + 1)]

                                              = [a + b – 1 + a – b + 1] [a + b – 1 – a + b – 1]

                                              = [2a] [2b – 2] = 2 a. 2 (b – 1) = 4 a (b – 1)

(a + b – 1)² – (a – b + 1)²  =  4 a (b – 1)

g)      125 a³ + 8b³

Solución: Esta es una suma de cubos.  Se le saca la raíz cúbica a cada término y luego se aplica:   a³ + b³ = (a + b) (a² – a b + b²).  Por tanto,

    

125 a³ + 8b³ = (5a)³ + (2b)³ = (5a + 2b) [(5a)² – (5a) (2b) + (2b)²]

                                             = (5a + 2b) (25a² – 10a b + 4b²)

h)  (x – 1)³ – (1 – x)³

Solución: Se trata de una diferencia de dos cubos, por lo que se aplica:

a³ – b³ = (a – b) (a² + a b + b²). Entonces,

     (x – 1)³ – (1 – x)³ = [(x – 1) – (1 – x)] [(x – 1)²  + (x – 1) (1 – x) + (1 – x)²]

desarrollando:    = [x – 1 – 1 + x] [x² – 2x + 1 + x – x² – 1 + x + 1 – 2x + x²]

Simplificando:    = [2x – 2] [–2x + 2x + 1 – 2x + x²]  factorizando y simplificando:

                          = 2 (x – 1) (x² – 2x + 1) = 2 (x – 1) (x – 1)²,  entonces,

     (x – 1)³ – (1 – x)³ = 2 (x – 1)³

i)   27 a³ + 27 a² b + 9ab² + b³

Solución.  Este caso se reconoce porque el polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas); enseguida se debe ordenar para ver si se trata del cubo de un binomio.  En este caso, el polinomio está ordenado y ahora hay que comprobar si se cumplen las condiciones.  Se procede así:

Se saca la raíz cúbica del 1º y el 4º término:     y    

El 2º término, debe ser el triple del cuadrado de la primera raíz cúbica por la segunda:    

3 (3 a)². b = 3 (9 a²).b = 27 a² b

El tercer término, debe ser el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda:       

3 (3 a) (b)² = 9ab² 

Como se cumplen todas las condiciones, y además, todos los términos son positivos, se trata del cubo de una suma.  Entonces, se suman las raíces cúbicas, se encierran entre paréntesis y luego se eleva al cubo. O sea,

27 a³  +  27 a² b  +  9ab²  +  b³  =  (3 a + b)³ 

    ↓                                       ↓

   3a                                      b

             3(3 a)² .b 

                              

                            3(3 a).b²         

              

j)   8m³ + 96mn² – 64n³ –  48m² n

Solución: El polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos, entonces, hay que ordenarlo con relación a la letra m:

8m³ – 48m² n + 96mn² – 64n³

Como los signos van alternados, se trataría del cubo de una diferencia y se factoriza como en el ejemplo anterior:

8m³  –  48m² n  +  96mn²  –  64n³ =  (2m – 4n)³ 

                                   ↓                                              ↓                                           

                                 2m                                            4n

                                         3(2m)²(4n)

                                                             3(2m) (4n)²

k)  x² – 7x + 12

Solución: Es un trinomio pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x² + bx + c.  Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x², la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis.  Se coloca el signo del segundo término en el primer paréntesis  y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término.  Así:

x ² – 7x + 12 = (x –   ) (x –  )

Ahora se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados (porque tienen signos iguales) den 7.  Estos son 4 y 3.  Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor. Entonces,

x ² – 7x + 12 = (x – 4 ) (x – 3)

l)  3x² – 5x – 2

Solución: Es un trinomio de la forma ax² + b x + c.  Hay dos maneras de factorizarlo:

·        1ª  forma:

Se multiplica y se divide por 3 el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un cuadrado perfecto, o sea, (3x)²; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, 5(3x) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria. Por lo tanto,

3x² – 5x – 2 =  

ahora se factoriza como en el ejemplo anterior, resultando,

3x² – 5x – 2 =  

Se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5.  Los números son 6 y 1.  Se factoriza el primer paréntesis para eliminar el 3 que está como denominador.  En resumen:

3x² – 5x – 2 =    (x – 2) (3x + 1)

·        2ª forma:

 Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x ², la cual se distribuye   en cada uno de los paréntesis pero acompañada del 3.  Como hay un 3 de más, entonces, se divide por 3:

3x² – 5x – 2 =

 Antes de factorizar como en el ejemplo anterior, se multiplican los números  extremos (3.2 = 6) y se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados  den 5. Los números son 6 y 1, luego se elimina el 3 del denominador. Por lo  tanto,

3x² – 5x – 2 =   (x – 2) (3x + 1)

entonces,                         3x² – 5x – 2 = (x – 2) (3x + 1)

m)  9x² – a² + 2ab – b²

Solución: Se agrupan los tres últimos términos del polinomio, los cuales formarán un trinomio cuadrado perfecto y luego, se obtendrá una diferencia de cuadrados:

9x² – a² + 2ab – b² = 9x² – (a² – 2 ab + b²) = 9x² – (a  – b)²