NUMEROS REALES

LOS NUMEROS REALES (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.²
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

 En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si  es un número racional donde  está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que  es un número racional debe ser falsa.

EJEMPLOS:

 Clasifica los números: 

Soluciones:

Representa en la recta: 

Soluciones:

Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:
|x| < 1 |x| ≤ 1 |x| > 1|x| ≥ 1

Soluciones:

1 |x| < 1 -1 < x < 1  x ( −1, 1) 

2 |x|≤ 1 -1 ≤ x ≤1 x [ −1, 1]

3|x| > 1-1 > x > 1  x ( -∞, −1)  (1, +∞) 

4|x| ≥ 1-1 ≥ x ≥ 1   x ( -∞, −1]  [1, +∞)